Publiée 20 juillet 2026
Offre Posr-Doc : Factorisation d'opérateurs différentiels linéaires utilisant des techniques p-adiques (H/F)
Centre de Nanosciences et de Nanotechnologies
Palaiseau, Île-de-France 91120, France
CDI
Description du Poste
Les Missions
L'objectif principal de cette proposition de Post-Doc est de développer des algorithmes pour factoriser des opérateurs différentiels linéaires en utilisant des techniques p-adiques.
L'Activité
La question centrale de cette proposition porte sur la résolution symbolique efficace des équations différentielles linéaires
y^(r)(x) + a_(r-1)(x) y^(r-1)(x) + ... + a_0(x) y(x) = 0, (1)
où les fonctions a_i sont généralement des fonctions rationnelles à coefficients rationnels. Les équations de ce type sont omniprésentes dans la théorie des fonctions spéciales, et apparaissent naturellement en physique, mais aussi, par exemple, en combinatoire (séries génératrices différentielles finies) ou en géométrie algébrique (équations de Picard-Fuchs).
Un sous-problème particulièrement important dans le programme de recherche de solutions de (1) consiste à factoriser l'opérateur différentiel linéaire L ≔ ∂^r + a_(r-1) ∂^(r-1) + ... + a_0 dans l'anneau non commutatif ℚ(x)[∂]. Trois approches principales ont été proposées : les méthodes traditionnelles d'algèbre informatique [3], la réduction du problème modulo un nombre premier p [6, 2], et les méthodes symbolique-numériques [4, 1].
La présente proposition de postdoc concerne la deuxième approche modulaire. L'état de l'art actuel [5] montre qu'il existe des algorithmes efficaces pour factoriser la réduction L mod p ∈ _p(x)[∂] de l'opérateur L modulo p. Une première tâche consiste à relever cet algorithme en un algorithme de factorisation p-adique sur ℚ_p(x). Notre deuxième objectif est d'utiliser cela pour développer un algorithme de factorisation sur ℚ(x) ou sur ℚ*(x), où ℚ* désigne la clôture algébrique de ℚ. Nous prévoyons que le second problème présentera certaines analogies avec l'approche symbolique-numérique de [4, 1].
Au-delà de la factorisation des opérateurs différentiels linéaires, le postdoc pourra être l'occasion de développer des techniques p-adiques pour résoudre des équations différentielles non linéaires.
[1] F. Chyzak, A. Goyer, et M. Mezzarobba. Symbolic-numeric factorization of differential operators. Technical Report https://hal.inria.fr/hal-03580658v1, HAL, 2022.
[2] T. Cluzeau. Algorithmique modulaire des équations différentielles linéaires. PhD thesis, Université de Limoges, 2004.
[3] M. van Hoeij. Factorization of linear differential operators. PhD thesis, Univ. of Nijmegen, The Netherlands, 1996.
[4] J. van der Hoeven. Around the numeric-symbolic computation of differential Galois groups. JSC, 42:236-264, 2007.
[5] R. Pagès. Factorisation of linear differential operators in positive characteristic. PhD thesis, U. of Bordeaux, 2024.
[6] M. van der Put. Differential equations modulo p. Compositio Mathematica, 97:227-251, 1995.
Votre Profil
Compétences
Le/la candidat(e) doit être titulaire d'un doctorat en informatique ou en mathématiques, avec le calcul formel comme spécialité.
Votre Environnement de Travail
Le/la candidat(e) fera partie de l'équipe MAX de calcul formel au LIX (laboratoire d'informatique de l'École polytechnique) et travaillera pour le projet ERC ODELIX.
Rémunération et avantages
Rémunération
Entre 3131,32 et 3569,85 euros bruts par mois selon expérience
Congés et RTT annuels
44 jours
Pratique et Indemnisation du TT
Pratique et indemnisation du TT
Transport
Prise en charge à 75% du coût et forfait mobilité durable jusqu'à 300€
À propos de l'offre
Référence de l'offre
UMR7161-GOVVAN-019
Section(s) CN / Domaine de recherche
Sciences informatiques : fondements de l'informatique, calculs, algorithmes, représentations, exploitations
À propos du CNRS
Le CNRS est un acteur majeur de la recherche fondamentale à une échelle mondiale. Le CNRS est le seul organisme français actif dans tous les domaines scientifiques. Sa position unique de multi-spécialiste lui permet d'associer les différentes disciplines pour affronter les défis les plus importants du monde contemporain, en lien avec les acteurs du changement.
Les Missions
L'objectif principal de cette proposition de Post-Doc est de développer des algorithmes pour factoriser des opérateurs différentiels linéaires en utilisant des techniques p-adiques.
L'Activité
La question centrale de cette proposition porte sur la résolution symbolique efficace des équations différentielles linéaires
y^(r)(x) + a_(r-1)(x) y^(r-1)(x) + ... + a_0(x) y(x) = 0, (1)
où les fonctions a_i sont généralement des fonctions rationnelles à coefficients rationnels. Les équations de ce type sont omniprésentes dans la théorie des fonctions spéciales, et apparaissent naturellement en physique, mais aussi, par exemple, en combinatoire (séries génératrices différentielles finies) ou en géométrie algébrique (équations de Picard-Fuchs).
Un sous-problème particulièrement important dans le programme de recherche de solutions de (1) consiste à factoriser l'opérateur différentiel linéaire L ≔ ∂^r + a_(r-1) ∂^(r-1) + ... + a_0 dans l'anneau non commutatif ℚ(x)[∂]. Trois approches principales ont été proposées : les méthodes traditionnelles d'algèbre informatique [3], la réduction du problème modulo un nombre premier p [6, 2], et les méthodes symbolique-numériques [4, 1].
La présente proposition de postdoc concerne la deuxième approche modulaire. L'état de l'art actuel [5] montre qu'il existe des algorithmes efficaces pour factoriser la réduction L mod p ∈ _p(x)[∂] de l'opérateur L modulo p. Une première tâche consiste à relever cet algorithme en un algorithme de factorisation p-adique sur ℚ_p(x). Notre deuxième objectif est d'utiliser cela pour développer un algorithme de factorisation sur ℚ(x) ou sur ℚ*(x), où ℚ* désigne la clôture algébrique de ℚ. Nous prévoyons que le second problème présentera certaines analogies avec l'approche symbolique-numérique de [4, 1].
Au-delà de la factorisation des opérateurs différentiels linéaires, le postdoc pourra être l'occasion de développer des techniques p-adiques pour résoudre des équations différentielles non linéaires.
[1] F. Chyzak, A. Goyer, et M. Mezzarobba. Symbolic-numeric factorization of differential operators. Technical Report https://hal.inria.fr/hal-03580658v1, HAL, 2022.
[2] T. Cluzeau. Algorithmique modulaire des équations différentielles linéaires. PhD thesis, Université de Limoges, 2004.
[3] M. van Hoeij. Factorization of linear differential operators. PhD thesis, Univ. of Nijmegen, The Netherlands, 1996.
[4] J. van der Hoeven. Around the numeric-symbolic computation of differential Galois groups. JSC, 42:236-264, 2007.
[5] R. Pagès. Factorisation of linear differential operators in positive characteristic. PhD thesis, U. of Bordeaux, 2024.
[6] M. van der Put. Differential equations modulo p. Compositio Mathematica, 97:227-251, 1995.
Votre Profil
Compétences
Le/la candidat(e) doit être titulaire d'un doctorat en informatique ou en mathématiques, avec le calcul formel comme spécialité.
Votre Environnement de Travail
Le/la candidat(e) fera partie de l'équipe MAX de calcul formel au LIX (laboratoire d'informatique de l'École polytechnique) et travaillera pour le projet ERC ODELIX.
Rémunération et avantages
Rémunération
Entre 3131,32 et 3569,85 euros bruts par mois selon expérience
Congés et RTT annuels
44 jours
Pratique et Indemnisation du TT
Pratique et indemnisation du TT
Transport
Prise en charge à 75% du coût et forfait mobilité durable jusqu'à 300€
À propos de l'offre
Référence de l'offre
UMR7161-GOVVAN-019
Section(s) CN / Domaine de recherche
Sciences informatiques : fondements de l'informatique, calculs, algorithmes, représentations, exploitations
À propos du CNRS
Le CNRS est un acteur majeur de la recherche fondamentale à une échelle mondiale. Le CNRS est le seul organisme français actif dans tous les domaines scientifiques. Sa position unique de multi-spécialiste lui permet d'associer les différentes disciplines pour affronter les défis les plus importants du monde contemporain, en lien avec les acteurs du changement.
